🎚️ Circuiti e progettazione · Guida 04

Filtri RC passa-basso, passa-alto e passa-banda

Un circuito RC non serve soltanto a creare ritardi nel tempo: può anche selezionare le frequenze di un segnale. Il filtro passa-basso lascia passare le componenti lente e attenua quelle più veloci, mentre il passa-alto fa l’opposto. Combinando i due comportamenti possiamo ottenere anche un filtro passa-banda, che lascia passare soltanto un intervallo di frequenze. In questa guida vediamo reattanza capacitiva, frequenza di taglio, −3 dB, fase, risposta di Bode, banda passante, dimensionamento e applicazioni reali.

Livello: intermedio Tempo di lettura: 25–30 min fc = 1/(2πRC) Bode + fase

Perché un circuito RC può filtrare le frequenze?

La resistenza ha, idealmente, lo stesso valore a tutte le frequenze. Il condensatore invece presenta un’opposizione alla corrente alternata che dipende dalla frequenza.

Bassa frequenza

Il condensatore oppone una reattanza elevata.

Alta frequenza

La reattanza del condensatore diminuisce.

Risultato

La posizione di R e C decide quali frequenze arrivano all’uscita.

È lo stesso condensatore della guida precedente Nel dominio del tempo vedevamo carica e scarica. Nel dominio della frequenza vediamo come risponde a sinusoidi più lente o più veloci.

Reattanza capacitiva XC

XC = 1 / (2πfC) XC in ohm · f in hertz · C in farad.

Aumentando la frequenza, XC diminuisce. Per questo il condensatore può comportarsi quasi come un circuito aperto alle frequenze molto basse e come un’impedenza molto piccola alle frequenze molto alte.

Esempio con C = 100 nF A 10 Hz: XC ≈ 159 kΩ.
A 1 kHz: XC ≈ 1,59 kΩ.
A 100 kHz: XC ≈ 15,9 Ω.

Filtro RC passa-basso

Nel passa-basso la resistenza è in serie al segnale e il condensatore è collegato tra uscita e GND. L’uscita viene prelevata sul condensatore.

R C VIN VOUT
Basse frequenze XC è elevata: il condensatore assorbe poca corrente e VOUT rimane vicina a VIN.
Alte frequenze XC diventa bassa: il condensatore devia progressivamente il segnale verso GND e VOUT diminuisce.

Filtro RC passa-alto

Nel passa-alto il condensatore viene messo in serie al segnale e la resistenza verso GND. L’uscita viene prelevata sulla resistenza.

C R VIN VOUT
Basse frequenze XC è elevata: il condensatore blocca gran parte del segnale.
Alte frequenze XC diminuisce: il segnale attraversa più facilmente il condensatore e compare sulla resistenza.

Filtro RC passa-banda

Un filtro passa-banda lascia passare soltanto un intervallo di frequenze compreso tra una frequenza di taglio inferiore fL e una frequenza di taglio superiore fH. Le frequenze troppo basse e quelle troppo alte vengono attenuate.

Come si ottiene? Il metodo più semplice consiste nel collegare in cascata un passa-alto seguito da un passa-basso. Il primo elimina le frequenze troppo basse, il secondo elimina quelle troppo alte.
VIN C1 R1 BUFFER opzionale ma utile R2 VOUT C2 PASSA-ALTO PASSA-BASSO

Frequenza di taglio inferiore

fL = 1 / (2πR1C1) Lo stadio passa-alto definisce il limite inferiore della banda.

Frequenza di taglio superiore

fH = 1 / (2πR2C2) Lo stadio passa-basso definisce il limite superiore della banda.
Esempio Supponiamo di voler lasciar passare approssimativamente le frequenze tra 300 Hz e 3 kHz:

fL = 300 Hz
fH = 3000 Hz

Il passa-alto viene dimensionato attorno a 300 Hz e il passa-basso attorno a 3 kHz.
Attenzione al caricamento tra i due stadi Se colleghi direttamente un passa-alto RC a un passa-basso RC, il secondo stadio può modificare la risposta del primo. Le formule separate per fL e fH sono accurate quando le impedenze sono ben separate oppure quando tra i due stadi viene inserito un buffer.
Perché il buffer aiuta? Un buffer presenta alta impedenza all’ingresso e bassa impedenza all’uscita. In questo modo il passa-alto e il passa-basso possono essere dimensionati quasi indipendentemente.

Larghezza di banda, frequenza centrale e fattore Q

Larghezza di banda

BW = fH − fL BW = bandwidth, cioè larghezza della banda passante.

Frequenza centrale

Quando le frequenze sono rappresentate su scala logaritmica, la frequenza centrale geometrica è:

f0 = √(fL · fH)
Esempio: banda 300 Hz → 3 kHz f0 = √(300 × 3000) ≈ 949 Hz.

BW = 3000 − 300 = 2700 Hz.

Fattore di qualità Q

Q = f0 / BW
Nei semplici passa-banda RC passivi il Q è generalmente basso Per bande strette e selettività elevata si usano normalmente filtri attivi, RLC o strutture di ordine superiore.
Passa-banda = due frequenze di taglio A differenza del semplice passa-basso o passa-alto, qui abbiamo una fL e una fH. La zona compresa tra le due costituisce la banda utile.

Frequenza di taglio fc

fc = 1 / (2πRC)

La frequenza di taglio è il punto di transizione principale del filtro. Per il filtro RC ideale di primo ordine, a fc il modulo dell’uscita vale circa il 70,7% del valore in banda passante.

Esempio R = 10 kΩ e C = 100 nF:

fc = 1 / (2π × 10.000 × 100×10−9) ≈ 159 Hz.
Collegamento con τ Poiché τ = RC:

fc = 1/(2πτ)

Perché la frequenza di taglio è a −3 dB?

|H(fc)| = 1/√2 ≈ 0,707

In termini di tensione:

20·log10(0,707) ≈ −3,01 dB

Se il carico è puramente resistivo e confrontiamo potenze alle stesse condizioni, un’ampiezza pari a 0,707 corrisponde a metà potenza.

−3 dB non significa “metà tensione” Metà tensione corrisponde a circa −6 dB.

Diagramma di Bode: passa-basso e passa-alto

Guadagno Frequenza fc passa-basso passa-alto
Il grafico è qualitativo La scala reale dei diagrammi di Bode è normalmente logaritmica sull’asse della frequenza.

Risposta in frequenza di un passa-banda

La risposta di un passa-banda cresce alle basse frequenze, raggiunge una zona utile centrale e poi decresce alle alte frequenze.

Guadagno Frequenza fL fH banda passante
Tra fL e fH il segnale viene lasciato passare Sotto fL domina l’azione del passa-alto; sopra fH domina l’azione del passa-basso.

Pendenza: 20 dB per decade

Un filtro RC del primo ordine attenua con una pendenza asintotica di circa 20 dB per decade, equivalente a circa 6 dB per ottava.

Passa-basso Molto sopra fc, aumentando la frequenza di 10 volte il segnale si riduce di circa altri 20 dB.
Passa-alto Molto sotto fc, diminuendo la frequenza di 10 volte il segnale si riduce di circa 20 dB.
Un solo RC non crea una parete verticale Se serve una selettività maggiore occorrono filtri di ordine superiore o filtri attivi.

Sfasamento introdotto dal filtro RC

Passa-basso

φ = −arctan(f/fc) A fc: φ ≈ −45°.

Passa-alto

φ = arctan(fc/f) A fc: φ ≈ +45°.
Il filtro modifica ampiezza e fase Questo è molto importante in audio, controlli automatici, feedback e sistemi con più stadi.

Esempio: filtro passa-basso per un ADC

Vogliamo attenuare rumore ad alta frequenza prima dell’ADC e scegliamo:

R = 4,7 kΩ
C = 100 nF

fc = 1 / (2π × 4700 × 100×10−9) ≈ 339 Hz.

Segnali molto più lenti di 339 Hz attraversano quasi inalterati, mentre le componenti più veloci vengono attenuate progressivamente.

Esempio: filtro passa-alto per eliminare la DC

Supponiamo di avere un segnale audio che contiene un offset DC e vogliamo accoppiarlo a uno stadio con ingresso da 10 kΩ. Usando C = 10 µF:

fc = 1 / (2π × 10.000 × 10 µF) ≈ 1,59 Hz

Le frequenze audio vengono lasciate passare quasi completamente, mentre la componente DC viene bloccata.

La resistenza può essere l’impedenza d’ingresso dello stadio successivo Non sempre è necessario aggiungere una resistenza separata: bisogna ragionare sulla resistenza equivalente vista dal condensatore.

Come dimensionare R e C

R = 1/(2πfcC)
C = 1/(2πfcR)
Vogliamo fc = 1 kHz e scegliamo C = 10 nF R = 1 / (2π × 1000 × 10×10−9) ≈ 15,9 kΩ.

Possiamo usare il valore commerciale 16 kΩ.
La scelta non dipende solo da fc Valori di R troppo elevati aumentano sensibilità al rumore e alle correnti di bias/leakage. Valori troppo bassi caricano la sorgente e aumentano il consumo.

L’effetto del carico sul filtro

Le formule semplici assumono che il circuito successivo abbia impedenza molto alta. Se colleghiamo un carico RL, questo può modificare la resistenza equivalente e quindi la risposta.

Il filtro non vive isolato Un passa-basso con R = 10 kΩ collegato a un ingresso da 10 kΩ non si comporta più come se l’uscita fosse a circuito aperto.
Regola pratica Quando possibile, l’impedenza d’ingresso dello stadio successivo dovrebbe essere molto maggiore dell’impedenza d’uscita del filtro.

Anche l’impedenza della sorgente modifica fc

Nel passa-basso, se la sorgente possiede una resistenza RS significativa, questa si somma alla resistenza del filtro.

Reff ≈ R + RS

Nel passa-alto bisogna invece considerare la rete resistiva effettivamente vista dal condensatore tra sorgente e carico.

Come nei transitori RC La costante di tempo e la frequenza di taglio dipendono dalla resistenza equivalente vista dal condensatore.

Misurare un filtro RC con oscilloscopio e generatore

  1. genera una sinusoide di ampiezza costante;
  2. misura VIN sul canale 1;
  3. misura VOUT sul canale 2;
  4. varia gradualmente la frequenza;
  5. calcola VOUT/VIN;
  6. individua la frequenza dove il rapporto vale circa 0,707.
Quella è fc sperimentale Puoi confrontarla con il valore teorico calcolato da R e C.
Sonde e generatore fanno parte del circuito Considera la resistenza d’uscita del generatore — spesso 50 Ω — e l’impedenza della sonda.

Filtro RC davanti a un ADC

Un passa-basso viene spesso usato per ridurre rumore ad alta frequenza e limitare il contenuto spettrale prima della conversione.

L’ADC può richiedere bassa impedenza della sorgente Il sample-and-hold interno deve caricarsi in un tempo limitato. Una R troppo grande può causare errori di acquisizione. Consulta il datasheet del microcontrollore o dell’ADC.
Anti-aliasing Un semplice RC può aiutare, ma nei sistemi di misura più esigenti un filtro del primo ordine può non attenuare abbastanza le frequenze sopra Nyquist.

Filtri RC nei circuiti audio

Il passa-alto viene spesso usato come condensatore di accoppiamento per eliminare la componente DC. Il passa-basso può limitare banda, rumore o alte frequenze indesiderate.

Accoppiamento audio C in serie + impedenza d’ingresso dello stadio successivo = passa-alto. La fc viene scelta abbastanza sotto la frequenza audio minima desiderata.

Passa-basso per trasformare PWM in tensione media

Un PWM contiene una componente media più armoniche alla frequenza di commutazione e ai suoi multipli. Un passa-basso può attenuare le armoniche e produrre una tensione relativamente liscia.

Esempio concettuale PWM a 20 kHz e filtro con fc = 200 Hz:

La frequenza PWM è 100 volte superiore a fc, quindi viene fortemente attenuata.
C’è un compromesso Ridurre fc diminuisce il ripple ma rallenta la risposta quando cambia il duty cycle.

Il filtro RC reale

Effetto realeConseguenza
Tolleranza RSposta fc.
Tolleranza CPuò spostare fc significativamente.
ESR del condensatoreModifica la risposta alle frequenze elevate.
Impedenza sorgenteSi combina con R.
CaricoModifica guadagno e frequenza di taglio.
Parassiti PCBImportanti alle frequenze elevate.
TemperaturaPuò modificare R, C e quindi fc.
Per filtri precisi conta il tipo di condensatore C0G/NP0, film e altre tecnologie possono offrire stabilità molto superiore rispetto a ceramici ad alta capacità o elettrolitici.

Errori comuni con i filtri RC

  • confondere passa-basso, passa-alto e passa-banda;
  • dimensionare un passa-banda ignorando il caricamento tra i due stadi;
  • dimenticare che VOUT viene prelevata su componenti diversi;
  • considerare −3 dB come metà tensione;
  • usare µF o nF senza convertirli correttamente in farad;
  • ignorare l’impedenza della sorgente;
  • ignorare il carico collegato all’uscita;
  • pensare che oltre fc il segnale sparisca improvvisamente;
  • usare un solo RC quando serve un’attenuazione molto ripida;
  • mettere R troppo elevata davanti a un ADC veloce;
  • dimenticare lo sfasamento introdotto dal filtro.
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