🌀 Circuiti e progettazione · Guida 05

Circuiti RL, RLC e risonanza

Dopo i circuiti RC, il passo successivo è introdurre l’induttore. Nei circuiti RL la corrente non può cambiare istantaneamente e segue un transitorio esponenziale. Aggiungendo anche un condensatore otteniamo i circuiti RLC, nei quali energia elettrica e magnetica possono scambiarsi periodicamente. Da qui nasce la risonanza, uno dei fenomeni più importanti dell’elettronica analogica e RF.

Livello: intermedio Tempo di lettura: 30–35 min τ = L/R f0 = 1/(2π√LC)

Che cos’è un circuito RL?

Un circuito RL contiene una resistenza R e un induttore L. La resistenza limita la corrente, mentre l’induttore si oppone alle variazioni rapide della corrente stessa.

L’induttore è il “duale” del condensatore Il condensatore si oppone alle variazioni rapide di tensione; l’induttore si oppone alle variazioni rapide di corrente.

Perché la corrente dell’induttore non cambia istantaneamente?

v_L(t) = L · di(t)/dt

Per modificare istantaneamente la corrente servirebbe una tensione infinita. Nei circuiti reali la corrente cambia quindi in modo graduale.

Interrompere bruscamente una corrente induttiva può produrre una forte sovratensione È il motivo per cui relè, solenoidi e motori richiedono diodi flyback, TVS o altri clamp.

Costante di tempo del circuito RL

τ = L / R L in henry · R in ohm · τ in secondi.

Esempio L = 100 mH = 0,1 H e R = 100 Ω:

τ = 0,1 / 100 = 1 ms.

Più L → transitorio più lento Più R → transitorio più rapido.

Crescita e decadimento della corrente

Accensione

i(t) = I_f · (1 − e^−t/τ) Per un circuito RL alimentato in DC, If = VS/R.

Spegnimento

i(t) = I₀ · e^−t/τ

Tempo	Crescita	Decadimento
1τ	63,2%	36,8%
2τ	86,5%	13,5%
3τ	95,0%	5,0%
5τ	99,3%	0,7%

Le percentuali sono le stesse del circuito RC Entrambi sono sistemi del primo ordine e seguono leggi esponenziali analoghe.

Energia immagazzinata nell’induttore

E = ½ · L · I² E in joule.

Esempio L = 10 mH e I = 2 A:

E = ½ × 0,01 × 2² = 0,02 J.

L’energia deve andare da qualche parte allo spegnimento Se non esiste un percorso sicuro, l’induttore aumenta la tensione finché trova un modo per continuare la corrente: arco, breakdown o clamp.

Reattanza induttiva XL

X_L = 2πfL

A differenza del condensatore, l’induttore presenta una reattanza che aumenta con la frequenza.

Induttore

XL = 2πfL → aumenta con f.

Condensatore

XC = 1/(2πfC) → diminuisce con f.

Qui nasce la risonanza Esiste una frequenza alla quale XL e XC diventano uguali in modulo.

Che cos’è un circuito RLC?

Un circuito RLC combina resistenza, induttore e condensatore. L e C possono scambiarsi energia tra campo magnetico e campo elettrico. La resistenza dissipa parte di questa energia e determina lo smorzamento.

R

Dissipa energia e smorza la risonanza.

L

Accumula energia nel campo magnetico.

C

Accumula energia nel campo elettrico.

Circuito RLC serie

Z = R + j(X_L − X_C) Impedenza del circuito RLC serie ideale.

Alla risonanza XL = XC, quindi la parte reattiva si annulla e l’impedenza ideale diventa minima: Z ≈ R.

Circuito RLC parallelo

Nel circuito parallelo R, L e C sono collegati agli stessi due nodi. Il comportamento alla risonanza è concettualmente opposto a quello del serie.

Alla risonanza parallelo l’impedenza vista dalla sorgente può diventare molto alta Nel modello ideale le correnti reattive di L e C si compensano alla sorgente. Il circuito reale è limitato dalle perdite.

Frequenza di risonanza

La risonanza si verifica quando:

X_L = X_C

Sostituendo le formule:

2πfL = 1/(2πfC)

si ottiene:

f₀ = 1 / (2π√(LC))

Esempio L = 10 mH e C = 1 µF:

f0 = 1 / [2π√(0,01 × 1×10⁻⁶)] ≈ 1,59 kHz.

Impedenza alla risonanza

RLC serie

Alla risonanza:

Z ≈ R

L’impedenza è minima e la corrente del circuito è massima.

RLC parallelo

Nel caso ideale l’impedenza tende a diventare molto elevata. Nei circuiti reali resta finita a causa delle perdite di bobina, condensatore e resistenze.

Serie = picco di corrente Parallelo = picco di impedenza

Fase prima, durante e dopo la risonanza

RLC serie	Comportamento
f < f0	XC > XL → circuito prevalentemente capacitivo.
f = f0	XL = XC → comportamento puramente resistivo ideale.
f > f0	XL > XC → circuito prevalentemente induttivo.

Alla risonanza serie tensione e corrente sono in fase La parte immaginaria dell’impedenza si annulla.

Fattore di qualità Q

Il fattore Q descrive quanto la risonanza è stretta e pronunciata. Per un RLC serie ideale:

Q = ω₀L / R

Q = 1 / (ω₀CR)

dove:

ω₀ = 2πf₀

Q alto Risonanza stretta, selettiva e con minori perdite relative.

Q basso Curva più larga e smorzata.

Larghezza di banda

Per un RLC serie del secondo ordine:

BW = f₀ / Q

La banda è compresa tra le due frequenze a −3 dB:

BW = f₂ − f₁

Esempio f0 = 10 kHz e Q = 10:

BW = 10.000 / 10 = 1 kHz.

Curva di risonanza

Q modifica la forma del picco A Q maggiore corrisponde una risonanza più stretta e più selettiva.

Perché alla risonanza possono comparire tensioni elevate?

In un RLC serie ad alto Q, la tensione ai capi di L e C può essere molto maggiore della tensione applicata, anche se le due tensioni si annullano vettorialmente nel circuito complessivo.

|V_L| ≈ |V_C| ≈ Q · V_S Relazione indicativa alla risonanza in un RLC serie con Q elevato.

È un punto importante di sicurezza e dimensionamento Un circuito alimentato a 10 V può generare decine o centinaia di volt internamente se Q è elevato. Condensatore e induttore devono sopportare le tensioni reali.

Smorzamento e risposta naturale

Un circuito RLC possiede una risposta del secondo ordine. In funzione di R può essere:

Condizione	Comportamento
Sottosmorzato	Oscilla con ampiezza progressivamente decrescente.
Criticamente smorzato	Ritorna all’equilibrio rapidamente senza oscillare.
Sovrasmorzato	Non oscilla ma torna lentamente all’equilibrio.

R decide quanta energia viene dissipata a ogni ciclo Meno perdite significa oscillazioni più persistenti e Q maggiore.

Dove vengono usati RL e RLC?

Filtri

Selezione di bande e attenuazione delle frequenze indesiderate.

RF

Circuiti accordati, ricevitori e trasmettitori.

Oscillatori

Reti risonanti LC per generare frequenze precise.

filtri EMI;
crossover audio;
matching di impedenza;
convertitori switching;
antenne e reti di accordo;
radio e telecomunicazioni;
snubber e circuiti di smorzamento;
sensori induttivi e risonanti.

Il circuito RLC reale

Effetto reale	Conseguenza
Resistenza serie induttore	Riduce Q e modifica la risonanza.
ESR condensatore	Aggiunge perdite.
Capacità parassita dell’induttore	Introduce autorisonanza.
Induttanza parassita del condensatore	Importante alle alte frequenze.
Carico	Smorza il circuito.
Tolleranze L e C	Spostano f0.
Temperatura	Può modificare L, C e R.

Ogni induttore reale possiede una frequenza di autorisonanza Sopra quella frequenza la capacità parassita può dominare e il componente non si comporta più come un induttore ideale.

Errori comuni con RL e RLC

usare τ = RC anche nei circuiti RL;
dimenticare che τRL = L/R;
confondere XL e XC;
considerare l’induttore un corto perfetto in ogni condizione;
ignorare la sovratensione allo spegnimento;
confondere risonanza serie e parallelo;
usare f0 senza convertire L e C nelle unità corrette;
ignorare la resistenza serie dell’induttore;
non verificare tensioni elevate su L e C alla risonanza;
considerare Q indipendente dal carico e dalle perdite reali.

📋 Riepilogo tecnico

RLL’induttore rende graduale la variazione della corrente.

τRLτ = L/R.

XLXL = 2πfL e aumenta con la frequenza.

RLCL e C scambiano energia; R introduce smorzamento.

RisonanzaXL = XC.

f0f0 = 1/(2π√LC).

QDefinisce selettività e larghezza della risonanza.

SerieAlla risonanza l’impedenza è minima e la corrente massima.

← Guida precedente 04. Filtri RC passa-basso, passa-alto e passa-banda Guida successiva → 06. Raddrizzatori a diodi e ponte di Graetz